Примеры решения задач. 8.2.1. Вычислить по определению, как предел интегральных сумм.

Предыдущая123456789101112Следующая

8.2.1. Вычислить по определению, как предел интегральных сумм.

◄ Отрезок интегрирования разобьем точками , , на частичные отрезки , , одинаковой длины . Возьмем , . Составим интегральную сумму для функции

.

В скобках стоит сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Она равна

.

Поэтому интегральная сумма

.

Вычислим теперь интеграл как предел интегральных сумм при ( ).

.►

8.2.2. Вычислить приближенно методом прямоугольников (методом средних) с точностью до .

◄ Разобьем отрезок на равных отрезков. Их длина . Поэтому точки деления , , , , . Составим табл. 1.

Таблица 1

0,1 1, 0005
0,3 1,0134
0,5 1,0607
0,7 1,1589

По формуле прямоугольников

.

Разобьем отрезок на равных отрезков. Их длина . Поэтому точки деления , , , …, . Составим табл. 2.

Таблица 2

0,05 1,0001
0,15 1,0017
0,25 1,0078
0,35 1,0212
0,45 1,0446
0,55 1,0800
0,65 1,1290
0,75 1,1924

По формуле прямоугольников

.

Поскольку , то с точностью до . Округляя до сотых, получаем окончательно .

Замечание. Для другой подынтегральной функции или при другом могло бы оказаться, что . Тогда для достижения заданной точности следует продолжить вычисление интегральных сумм , , , … до тех пор, пока абсолютная величина разности двух соседних членов этой последовательности не станет . ►

Задачи для самостоятельного решения

8.3.1.Вычислить интеграл

а) по определению как предел интегральных сумм,

б) приближенно методом прямоугольников с точностью 0,01 .

Указание. В пункте а) использовать равенство

.

8.3.2. Вычислить пределы

а) , б) .

Указание. Записать эти пределы как пределы интегральных сумм. Соответствующие интегралы вычислить по формуле Ньютона-Лейбница (2.1).

Формула Ньютона-Лейбница.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.


2333014874439350.html
2333031222400501.html
    PR.RU™